Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}$.

a) Ta có $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$. Do ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(x-4)\right]=0$ nên đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-4$. Vậy mệnh đề đúng.
b) Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$. $$f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=1$. Vậy mệnh đề sai.
c) Hàm số $y={\log }_{2025}f(x)$ có tập xác định là $(-1;0)\cup (3;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln 2025}$ nên $y^{\prime }<0\iff f^{\prime }(x)<0\iff x\in (-1;0)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$, đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$, nên mệnh đề đúng.
d) Ta có $g^{\prime }(x)=e^{f(x)}.f^{\prime }(x)$. $$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Mà $g(0)=e^{f(0)}=1$, $g(1)=e^{f(1)}=\frac{1}{e}$, $g(3)=e^{f(3)}=1$ nên ${\max }_{x\in [0;3]}g(x)=g(0)=g(3)=1$. Vậy mệnh đề đúng.
a) Ta có $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$. Do ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(x-4)\right]=0$ nên đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-4$. Vậy mệnh đề đúng.
b) Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$. $$f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=1$. Vậy mệnh đề sai.
c) Hàm số $y={\log }_{2025}f(x)$ có tập xác định là $(-1;0)\cup (3;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln 2025}$ nên $y^{\prime }<0\iff f^{\prime }(x)<0\iff x\in (-1;0)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$, đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$, nên mệnh đề đúng.
d) Ta có $g^{\prime }(x)=e^{f(x)}.f^{\prime }(x)$. $$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Mà $g(0)=e^{f(0)}=1$, $g(1)=e^{f(1)}=\frac{1}{e}$, $g(3)=e^{f(3)}=1$ nên ${\max }_{x\in [0;3]}g(x)=g(0)=g(3)=1$. Vậy mệnh đề đúng.