Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị như hình vẽ sau

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$, đi qua $(0;1)$.

a) $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với $f^{\prime }(\pm 1)=0$ nên $\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 3a-2b+c=0\end{array}$ → Đúng.

b) $y=f(4-x)+1$ có điểm cực đại là ảnh của điểm cực đại $(-1;3)$ của $f$ qua phép biến đổi $x\mapsto 4-x$ rồi cộng 1: $4-x=-1\Rightarrow x=5$, $y=3+1=4$ → điểm cực đại $(5;4)$ → Đúng.

c) Giá trị cực tiểu của $f$ bằng $-1$, nên phương trình $f(x)=-1$ có nghiệm kép tại $x=1$ và một nghiệm đơn $x<-1$: chỉ có 2 nghiệm phân biệt → Sai.

d) Hàm bậc ba không có tiệm cận ngang → Sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị lần lượt tại $x=-1$ và $x=1$, nên $f^{\prime }(\pm 1)=0$, tức $3a\pm 2b+c=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(4-x)+1$ nhận được từ đồ thị $f$ qua đối xứng qua trục $x=2$ (tâm $x=2$) rồi tịnh tiến lên 1 đơn vị; điểm cực đại $(-1;3)$ thành $(5;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì min $f=-1$ đạt tại $x=1$, phương trình $f(x)=-1$ có nghiệm kép $x=1$ và một nghiệm đơn, tức 2 nghiệm phân biệt chứ không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm đa thức bậc ba không có tiệm cận ngang.