Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$.

a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;a;-a)$. Tích vô hướng $=-a^2$, hai vecto cùng độ dài $a\sqrt{2}$, nên $\cos =\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$. → Đúng.

b) $M$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$: $M(0;\frac{a}{2};a)$; $N$ trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$: $N(\frac{a}{2};a;a)$. $\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$, $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(0;-a;a)$. Tích vô hướng $=0+(-\frac{a^2}{2})+0=-0,5a^2$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(0;a;0)$, hai vecto khác nhau. → Sai.

d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=(a;0;0)+(0;0;a)+(0;a;0)=(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}=-a^2$, $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=|\overrightarrow{B^{\prime }C}|=a\sqrt{2}$, nên $\cos =-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$, $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(0;-a;a)$, tích vô hướng $=-0,5a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(a;a;0)\ne (0;a;0)=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.