Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$; biết $SA=AB=a$, $\widehat{ABC}=\phi$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên các cạnh $SB$ và $SC$. Tính độ dài đoạn $KH$ theo $a$ và $\phi$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $C=(0,0,0)$, $A=(a\sin \phi ,0,0)$, $B=(0,a\cos \phi ,0)$, $S=(a\sin \phi ,0,a)$ (vì $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với $AB=a$, $\widehat{ABC}=\phi$ nên $AC=a\sin \phi$, $BC=a\cos \phi$).

Hình chiếu $H$ của $A$ trên $SB$: tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB=a$, nên $H$ là trung điểm $SB$: $H=\left(\frac{a\sin \phi }{2},\frac{a\cos \phi }{2},\frac{a}{2}\right)$.

Hình chiếu $K$ của $A$ trên $SC$: viết $K=\lambda S$, điều kiện $(A-K)\cdot S=0$ cho $\lambda =\frac{{\sin }^2\phi }{1+{\sin }^2\phi }$, tức $K=\left(\frac{a{\sin }^3\phi }{1+{\sin }^2\phi },0,\frac{a{\sin }^2\phi }{1+{\sin }^2\phi }\right)$.

Đặt $s={\sin }^2\phi$, tính $K{H}^2=a^2\left[{\sin }^2\phi {\left(\frac{1-s}{2(1+s)}\right)}^2+\frac{{\cos }^2\phi }{4}+{\left(\frac{1-s}{2(1+s)}\right)}^2\right]=\frac{a^2(1-s)}{4}\cdot \frac{2}{1+s}=\frac{a^2{\cos }^2\phi }{2(1+{\sin }^2\phi )}$.

Vậy $KH=\frac{a\cos \phi }{\sqrt{2(1+{\sin }^2\phi )}}$. Kiểm tra với $\phi =45^{\circ }$: $KH\approx 0,4082a$, khớp với tính toán tọa độ trực tiếp. Đáp án B.