Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau, các góc $ABC$, $AB{B}^{\prime }$, $B^{\prime }BC$ đều là góc nhọn. Kết luận nào sau đây sai?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AD}=\vec{v},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{w}$ với $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=a$. Các góc nhọn cho: góc $ABC$ nhọn $\Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{v}<0$; góc $AB{B}^{\prime }$ nhọn $\Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{w}<0$; góc $B^{\prime }BC$ nhọn $\Rightarrow \vec{w}\cdot \vec{v}>0$.

Xét từng kết luận:
- B: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{u}-\vec{w}$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{w}$, tích vô hướng $=|\vec{u}{|}^2-|\vec{w}{|}^2=0$ ⇒ đúng.
- C: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{v}$, $\overrightarrow{BD}=\vec{v}-\vec{u}$, tích vô hướng $=|\vec{v}{|}^2-|\vec{u}{|}^2=0$ ⇒ đúng.
- D: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\vec{v}+\vec{w}$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\vec{v}-\vec{w}$, tích vô hướng $=|\vec{v}{|}^2-|\vec{w}{|}^2=0$ ⇒ đúng.
- A: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}=\vec{w}\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot \vec{u}+\vec{w}\cdot \vec{v}$. Vì $\vec{w}\cdot \vec{u}<0$ và $\vec{w}\cdot \vec{v}>0$ nên tổng này không xác định dấu, nói chung khác $0$ (ví dụ $\vec{w}\cdot \vec{u}=-0,2a^2,\vec{w}\cdot \vec{v}=0,3a^2$ thì tích bằng $0,1a^2\ne 0$). Vậy $B{B}^{\prime }$ không nhất thiết vuông góc $BD$ ⇒ khẳng định A sai.