Cho hình chóp $S.ABC$ có độ dài các cạnh $SA=BC=x$, $SB=AC=y$, $SC=AB=z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=12$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABC$ là

Trong mặt phẳng $(ABC)$ dựng $D$, $E$, $F$ sao cho $A$, $B$, $C$ lần lượt là trung điểm của $DE$, $DF$, $EF$. Khi đó ta có $DE=2SA=2x$; $DF=2SB=2y$; $EF=2SC=2z$. Suy ra $SD$, $SE$, $SF$ đôi một vuông góc.

Ta có $V_{S.ABC}=\frac{1}{4}{V}_{S.DEF}=\frac{1}{4}.\frac{1}{6}.SD.SE.SF$.

Mặt khác $\{\begin{array}{l}S{D}^2+S{E}^2=4x^2\\ S{D}^2+S{F}^2=4y^2\\ S{E}^2+S{F}^2=4z^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}S{D}^2=2\left(x^2+y^2-z^2\right)\\ S{E}^2=2\left(x^2+z^2-y^2\right)\\ S{F}^2=2\left(y^2+z^2-x^2\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}SD=2\sqrt{6-z^2}\\ SE=2\sqrt{6-y^2}\\ SF=2\sqrt{6-x^2}\end{array}$.

Khi đó $V_{S.ABCD}=\frac{1}{24}.8.\sqrt{\left(6-x^2\right)\left(6-y^2\right)\left(6-z^2\right)}\le \frac{1}{3}\sqrt{{\left(\frac{6-x^2+6-y^2+6-z^2}{3}\right)}^3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy $V_{S.ABC}$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.