Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AD=3AM$. Gọi $G$, $N$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $SAB$, $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$; khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$.

a) Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (tức song song với $BC$), không song song với $AC$. → Sai.

b) $N$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $N$ nằm trên trung tuyến $BO$ với $O$ là tâm hình bình hành, $BN:NO=2:1$. Suy ra $NO=\frac{DB}{6}$, $DN=DO+ON=\frac{DB}{2}+\frac{DB}{6}=\frac{2DB}{3}$, vậy $\frac{DN}{DB}=\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$. → Sai.

c) $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{d}}{3}$; $\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{b}}{3}\parallel \overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD}$. Vì $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ nên $MN\parallel (SCD)$. → Đúng.

d) $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{3}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Điểm $P$ trên đường thẳng $NG$: $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}+t(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AN})=\frac{(2-t)\vec{b}+(1-t)\vec{d}+t\vec{s}}{3}$. Để $P\in (SAC)$ thì hệ số của $\vec{b}$ và $\vec{d}$ phải bằng nhau: $2-t=1-t$, vô nghiệm. Hơn nữa $\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{s}-(\vec{b}+\vec{d})}{3}$ nên $NG\parallel (SAC)$ (và $N\notin (SAC)$). Vậy $NG$ không cắt mặt phẳng $(SAC)$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (tức song song với $BC$), không song song với $AC$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $N$ nằm trên $BO$ với $O$ là tâm hình bình hành, $BN:NO=2:1$. Suy ra $DN=DO+ON=\frac{DB}{2}+\frac{DB}{6}=\frac{2DB}{3}$, vậy $\frac{DN}{DB}=\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{d}}{3}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$, suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{2\vec{b}}{3}\parallel \overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD}$. Vì $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ nên $MN\parallel (SCD)$. → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{3}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Điểm $P$ trên $NG$: $\overrightarrow{AP}=\frac{(2-t)\vec{b}+(1-t)\vec{d}+t\vec{s}}{3}$; điều kiện $P\in (SAC)$ là $2-t=1-t$, vô nghiệm, nên $NG\parallel (SAC)$ và $N\notin (SAC)$. Vậy $NG$ không cắt $(SAC)$. → Sai.