Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, các tam giác $SAB$, $SAD$, $SAC$ là các giác vuông tại $A$. Biết $SA=a\sqrt{3}$, $AB=a$, $AD=3a$. Tính góc giữa các đường thẳng sau:

a) $SD$ và $BC$. b) $SB$ và $CD$. c) $SC$ và $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$, $SA\perp AD$ (và $SA\perp AC$) nên $SA\perp (ABCD)$. Đặt hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;3a;0)$, $C(a;3a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.

a) Vì $BC\parallel AD$ nên góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$: $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{3a^2+9a^2}=2a\sqrt{3}$. Khi đó $\cos (SD,AD)=\frac{AD}{SD}=\frac{3a}{2a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc bằng $30^0$.

b) Vì $CD\parallel AB$ nên góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $SB=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$. Khi đó $\cos (SB,AB)=\frac{AB}{SB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$, suy ra góc bằng $60^0$.

c) $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{3a^2+10a^2}=a\sqrt{13}$ (vì $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{10}$), $BD=a\sqrt{10}$. Dùng tích vô hướng: $\overrightarrow{SC}=(a;3a;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{DB}=(a;-3a;0)$, $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{DB}=a^2-9a^2=-8a^2$. Góc giữa hai đường thẳng: $\cos =\frac{8a^2}{a\sqrt{13}\cdot a\sqrt{10}}=\frac{8}{\sqrt{130}}=\frac{4\sqrt{130}}{65}\approx 0,7017$, suy ra góc giữa $SC$ và $BD$ bằng $\arccos \frac{8}{\sqrt{130}}\approx 45,4^0$.