Cho tứ diện $ABCD$ trong đó $AB=AC=AD=a$, $\widehat{BAC}=60^0$, $\widehat{BAD}=60^0$, $\widehat{CAD}=90^0$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a) Chứng minh rằng $IJ$ vuông góc với cả hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

b) Tính độ dài $IJ$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c},\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ với $|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=a$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{d}=\frac{a^2}{2}$ (góc $60^0$), $\vec{c}\cdot \vec{d}=0$ (góc $90^0$).

a) Ta có $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$ nên
$$\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{b}).$$
Kiểm tra vuông góc với $AB$:
$$\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\vec{c}\cdot \vec{b}+\vec{d}\cdot \vec{b}-\vec{b}\cdot \vec{b})=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}-a^2\right)=0,$$
vậy $IJ\perp AB$.

Kiểm tra vuông góc với $CD$ (pháp hướng $\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}$):
$$\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{b})\cdot (\vec{d}-\vec{c})=\frac{1}{2}\left(\vec{c}\cdot \vec{d}-a^2+a^2-\vec{d}\cdot \vec{c}-\vec{b}\cdot \vec{d}+\vec{b}\cdot \vec{c}\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(0-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}\right)=0,$$
vậy $IJ\perp CD$. Kết luận $IJ$ vuông góc với cả $AB$ và $CD$.

b) Tính độ dài:
$$|\vec{c}+\vec{d}-\vec{b}{|}^2=a^2+a^2+a^2+2\vec{c}\cdot \vec{d}-2\vec{c}\cdot \vec{b}-2\vec{d}\cdot \vec{b}=3a^2+0-a^2-a^2=a^2.$$
Suy ra $IJ=\frac{1}{2}\sqrt{a^2}=\frac{a}{2}$.