Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$, $B$, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa

a) $SC$ và $(SAB)$ b) $SD$ và $(SAC)$ c) $AC$ và $(SAD)$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$ (vì $AD\parallel BC$, cùng vuông góc $AB$; $CD=a\sqrt{2}$).

a) Vì $AB\perp BC$ và $SA\perp BC$ nên $BC\perp (SAB)$, hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$ là $B$. Góc cần tìm là $\widehat{SCB}$. Ta có $SC=2a$, $SB=a\sqrt{3}$, $CB=a$:
$$\cos \widehat{SCB}=\frac{S{C}^2+C{B}^2-S{B}^2}{2\cdot SC\cdot CB}=\frac{4a^2+a^2-3a^2}{4a^2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 30^{\circ }.$$

b) Kiểm tra: $CD\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy) và $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AC}=(-a;a;0)\cdot (-a;-a;0)=a^2-a^2=0$, nên $CD\perp (SAC)$. Hình chiếu của $D$ lên $(SAC)$ là $C$, góc cần tìm là góc giữa $SD$ và $SC$ trong tam giác vuông $SCD$ (vuông tại $C$): $SC=2a$, $SD=a\sqrt{6}$, $CD=a\sqrt{2}$.
$$\cos \alpha =\frac{SC}{SD}=\frac{2a}{a\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \alpha =\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}\approx 35^{\circ }15^{\prime }\left(=\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

c) Mặt phẳng $(SAD)$ trùng với mặt phẳng $(OAD)$, chứa $SA$ và $AD$. Hình chiếu của $C$ lên $(SAD)$ là $C^{\prime }(0;a;0)$ (trung điểm $AD$). Góc cần tìm là $\widehat{CA{C}^{\prime }}$ với $AC=a\sqrt{2}$, $A{C}^{\prime }=a$:
$$\cos \widehat{CA{C}^{\prime }}=\frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow 45^{\circ }.$$