Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Xác định và tính cosin của góc phẳng nhị diện $[C^{\prime },AB,D]$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc phẳng nhị diện $[C^{\prime },AB,D]$ có cạnh $AB$. Vì $AB\perp BC$ (đáy là hình chữ nhật) và $AB\perp B{B}^{\prime }$ (cạnh bên), nên $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Suy ra $AB\perp B{C}^{\prime }$ và $AB\perp BD$, do đó góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $BD$ là góc phẳng nhị diện $[C^{\prime },AB,D]$: $\phi =\widehat{C^{\prime }BD}$.

Chọn hệ trục: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C^{\prime }(a,a,a\sqrt{3})$. Khi đó
$$\overrightarrow{BD}=(-a,a,0),\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0,a,a\sqrt{3}).$$
Tích vô hướng: $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=a^2$. Độ dài: $|BD|=a\sqrt{2}$, $|B{C}^{\prime }|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.
$$\cos \phi =\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot 2a}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$