Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy và tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng $SA$ và $(ABCD)$.

b) Tìm góc phẳng nhị diện $[A,SO,B]$; $[S,AB,O]$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tất cả bằng $a$. Hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$, đáy là hình vuông cạnh $a$, $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

a) Góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SAO}$. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $\cos \widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{a\sqrt{2}/2}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra góc bằng $45^{\circ }$.

b) Nhị diện $[A,SO,B]$: cạnh là $SO$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp OA$ và $SO\perp OB$; lại $AC\perp BD$ tại $O$ (hai đường chéo hình vuông). Vậy góc nhị diện là $\widehat{AOB}=90^{\circ }$.

Nhị diện $[S,AB,O]$: cạnh là $AB$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$, thì $OH\perp AB$ (vì $O$ cách đều $A,B$) và $SH\perp AB$ (tam giác $SAB$ cân tại $S$). Góc nhị diện là $\widehat{SHO}$. Ta có $OH=\frac{a}{2}$, $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\cos \widehat{SHO}=\frac{OH}{SH}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, tức $\widehat{SHO}=\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 54^{\circ }44^{\prime }$.