Cho tứ diện $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $B$, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=a$.

a) Chứng minh $(SAB)\perp (SBC)$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $(SBC)$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $I$ đến $(SBC)$.

d) Gọi $J$ là trung điểm của $AC$. Tính khoảng cách từ điểm $J$ đến $(SBC)$.

e) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến $(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $B$ nên $BC\perp AB$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB,SA$ trong $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$.

b) Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ (vì $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$), có $SB=a\sqrt{2}$, $BC=a$ nên $S_{SBC}=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. Thể tích tứ diện $V=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot a\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^3}{6}$. Khoảng cách $d(A,(SBC))=\frac{3V}{S_{SBC}}=\frac{a^3/2}{a^2\sqrt{2}/2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

c) $I$ là trung điểm $AB$, mà $B\in (SBC)$ nên khoảng cách đến $(SBC)$ biến thiên tuyến tính trên đoạn $AB$: $d(I,(SBC))=\frac{d(A,(SBC))}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

d) Tương tự, $J$ là trung điểm $AC$ với $C\in (SBC)$ nên $d(J,(SBC))=\frac{d(A,(SBC))}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

e) Khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng trung bình cộng khoảng cách của $A,B,C$ (tọa độ theo phương vuông góc): $d(G,(SBC))=\frac{1}{3}\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}+0+0\right)=\frac{a\sqrt{2}}{6}$.