Cho hình chóp tam giác $S.ABC$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ thuộc đoạn $AI$ sao cho $AH=\frac{1}{2}HI$. Biết góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Tính khoảng cách

a) từ $M$ đến mặt phẳng $(SAI)$, với $M$ là trung điểm của $SC$.

b) giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

c) giữa hai đường $SB$ với $AM$, với $M$ là trung điểm của $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(\sqrt{3}a,-a,0)$, $C=(\sqrt{3}a,a,0)$, $I=(\sqrt{3}a,0,0)$, nên $AI=\sqrt{3}a$. Vì $AH=\frac{1}{2}HI$ nên $AH=\frac{AI}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$, tức $H=(\frac{\sqrt{3}a}{3},0,0)$. Gọi $S=(\frac{\sqrt{3}a}{3},0,h)$. Khoảng cách từ $H$ đến $C$: $H{C}^2=\frac{4a^2}{3}+a^2=\frac{7a^2}{3}$. Góc giữa $SC$ và đáy bằng $60^{\circ }$ nên $\tan 60^{\circ }=\frac{h}{HC}\Rightarrow h=\sqrt{3}\cdot a\sqrt{\frac{7}{3}}=a\sqrt{7}$. Vậy $S=(\frac{\sqrt{3}a}{3},0,a\sqrt{7})$.

a) Mặt phẳng $(SAI)$ chứa $A,I,S$ đều có tung độ $y=0$, nên $(SAI)$ chính là mặt phẳng $(Oxz)$: $y=0$. $M$ trung điểm $SC$ có $M=(\frac{2\sqrt{3}a}{3},\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{7}}{2})$. Khoảng cách $d(M,(SAI))=|y_M|=\frac{a}{2}$.

b) Đường $SA$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $y=0$; đường $BC$ song song với trục $Oy$ (phương trình $x=\sqrt{3}a,z=0$). Hai đường thẳng chéo nhau (giao điểm $I$ của $BC$ với $y=0$ không thuộc $SA$ vì $z=3a\sqrt{7}\ne 0$). Khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $y=0$, bằng $a$.

c) Dùng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau với ${\vec{d}}_1=\overrightarrow{SB}=(\frac{2\sqrt{3}a}{3},-a,-a\sqrt{7})$, ${\vec{d}}_2=\overrightarrow{AM}=(\frac{2\sqrt{3}a}{3},\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{7}}{2})$, $\vec{w}=\overrightarrow{AS}=(\frac{\sqrt{3}a}{3},0,a\sqrt{7})$. Tính $\vec{n}={\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2=a(0,-\sqrt{21},\sqrt{3})$, $|\vec{n}|=2a\sqrt{6}$; $\vec{w}\cdot \vec{n}=a^2\sqrt{21}$. Vậy $d(SB,AM)=\frac{a^2\sqrt{21}}{2a\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{14}}{4}$.