Cho hình chóp $SABC$ đáy $ABC$ vuông tại $C$, $SA$ vuông góc $(ABC)$ tại $A$; $SA=AC=a$; $AB=2a$. Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:

a) $SA$; $SC$; $SB$ với $(ABC)$.

b) $BC$; $BA$; $BS$ với $(SAC)$.

c) $CH$; $CA$; $CB$; $CS$ với $(SAB)$. Với $CH$ là đường cao trong $\Delta ABC$

d) Biết $AK$ là đường cao trong tam giác $SAC$, xác định và tính góc giữa $AK$; $AS$; $AC$ và $(SBC)$

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn bị: $△ABC$ vuông tại $C$ có $AC=a,AB=2a$ nên $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=a\sqrt{3}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB,SA\perp AC,SA\perp BC$.

a) Góc với $(ABC)$ (hình chiếu xuống $(ABC)$):
- $SA\perp (ABC)$ nên góc $=90^{\circ }$.
- Hình chiếu của $SC$ là $AC$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow$ góc $(SC,(ABC))=45^{\circ }$.
- Hình chiếu của $SB$ là $AB$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow$ góc $(SB,(ABC))=\arctan \frac{1}{2}\approx 26^{\circ }35^{\prime }$.

b) Vì $BC\perp AC$ và $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAC)$:
- Góc $(BC,(SAC))=90^{\circ }$.
- $BA$ nằm trong mặt phẳng đi qua... hình chiếu của $BA$ lên $(SAC)$ là $CA$ (vì $B$ có hình chiếu vuông góc là $C$): góc $=\widehat{BAC}$, mà $\cos \widehat{BAC}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow 60^{\circ }$.
- Hình chiếu của $BS$ lên $(SAC)$ là $CS$. Trong $△SBC$: $SB=a\sqrt{5},SC=a\sqrt{2},BC=a\sqrt{3}$; $\cos \widehat{BSC}=\frac{S{B}^2+S{C}^2-B{C}^2}{2\cdot SB\cdot SC}=\frac{5a^2+2a^2-3a^2}{2a^2\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow$ góc $\approx 50^{\circ }46^{\prime }$.

c) Vì $AB\perp SA$ và $AB\perp AC\Rightarrow AB\perp (SAC)$, do đó $(SAB)\perp (SAC)$; đường cao $CH\perp AB$ và $CH\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $CH\perp (SAB)$, $H\in AB$:
- Góc $(CH,(SAB))=90^{\circ }$.
- Hình chiếu của $CA$ là $HA$: góc $=\widehat{CAH}=\widehat{CAB}=60^{\circ }$.
- Hình chiếu của $CB$ là $HB$: góc $=\widehat{CBH}=\widehat{CBA}$, mà $\tan \widehat{CBA}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow 30^{\circ }$.
- Hình chiếu của $CS$ là $HS$. Tính: $CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $AH=\frac{A{C}^2}{AB}=\frac{a}{2}$, $HS=\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Góc giữa $CS$ và $(SAB)$: $\cos \phi =\frac{HS}{CS}=\frac{a\sqrt{5}/2}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}\Rightarrow \phi =\arccos \frac{\sqrt{10}}{4}\approx 37^{\circ }46^{\prime }$ (thử: $\tan \phi =\frac{CH}{HS}=\sqrt{\frac{3}{5}}$, khớp).

d) $AK$ là đường cao $△SAC$ (vuông tại $A$), $K\in SC$, $AK=\frac{SA\cdot AC}{SC}=\frac{a\cdot a}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- Vì $AK\perp SC$ và $AK\perp BC$ (vì $BC\perp (SAC)$) mà $SC,BC$ cắt nhau trong $(SBC)$ nên $AK\perp (SBC)$: góc $(AK,(SBC))=90^{\circ }$; đồng thời $d(A,(SBC))=AK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- Góc giữa $AS$ và $(SBC)$: $\sin \phi =\frac{d(A,(SBC))}{AS}=\frac{a\sqrt{2}/2}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow 45^{\circ }$.
- Góc giữa $AC$ và $(SBC)$: $\sin \phi =\frac{AK}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow 45^{\circ }$.