Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA=a\sqrt{6}$ và vuông góc với đáy. Tính góc giữa

a) $SC$ và $(ABCD)$ b) $SC$ và $(SAB)$ c) $SB$ và $(SAC)$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm hình vuông (AC∩BD). Vì SA⊥(ABCD) nên $SA=a\sqrt{6}$, $AC=a\sqrt{2}$, $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{6a^2+2a^2}=2a\sqrt{2}$, $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{7}$.

a) Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu AC: $\tan \phi =\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \phi =60^{\circ }$.

b) Vì $CB\perp AB$ và $CB\perp SA$ (do SA⊥đáy) nên $CB\perp (SAB)$, tức B là hình chiếu của C lên (SAB). Góc giữa SC và (SAB) là $\widehat{CSB}$. Theo định lí cosin trong tam giác SBC ($BC=a$):
$$\cos \widehat{CSB}=\frac{S{C}^2+S{B}^2-B{C}^2}{2SC\cdot SB}=\frac{8a^2+7a^2-a^2}{2\cdot 2a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{7}}=\frac{14a^2}{4a^2\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{4}.$$
Vậy góc bằng $\arccos \frac{\sqrt{14}}{4}\approx 20^{\circ }42^{\prime }$.

c) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại $BD\perp SA$ nên $BD\perp (SAC)$, do đó O là hình chiếu của B lên (SAC). Góc giữa SB và (SAC) là $\widehat{SBO}$ với $BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{6a^2+\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{13}{2}}$. Theo định lí cosin trong tam giác SBO:
$$\cos \widehat{SBO}=\frac{S{B}^2+B{O}^2-S{O}^2}{2SB\cdot BO}=\frac{7a^2+\frac{a^2}{2}-\frac{13a^2}{2}}{2\cdot a\sqrt{7}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{a^2}{a^2\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}.$$
Vậy góc bằng $\arccos \frac{1}{\sqrt{14}}\approx 74^{\circ }30^{\prime }$.