Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy.

a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$

b) Gọi $M$, $N$ là trung điểm của $SC$, $SD$. Chứng minh $MN\perp (SAD)$

c) Cho $SA=a\sqrt{3}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CN$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.

a) $BD$ là đường chéo hình vuông nên $BD\perp AC$. Ta có $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $AC\cap SA=A$, vậy $BD\perp (SAC)$.

b) $MN$ là đoạn nối trung điểm của $△SCD$ nên $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$; lại có $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $AD\cap SA=A$ nên $CD\perp (SAD)$. Do $MN\parallel CD$ nên $MN\perp (SAD)$.

c) Tọa độ: $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{3})$, $N$ trung điểm $SD$ nên $N\left(0;\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{CN}=\left(-a;-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CN}=-a^2+0-\frac{3a^2}{4}=-\frac{7a^2}{4}$.

$|SB|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$; $|CN|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}=a\sqrt{2}$.

$\cos (\overrightarrow{SB},\overrightarrow{CN})=\frac{-7a^2/4}{2a\cdot a\sqrt{2}}=-\frac{7}{8\sqrt{2}}=-\frac{7\sqrt{2}}{16}$.

Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn: $\cos \phi =\frac{7\sqrt{2}}{16}\approx 0,6187$, suy ra $\phi \approx 51,8^{\circ }$ (chính xác $\phi =\arccos \frac{7\sqrt{2}}{16}$).