Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AB=2a$, $BC=a$, $\widehat{ABC}=120^0$ và $SD$ vuông góc với đáy. Sin góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng $\frac{1}{4}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình bình hành với $AB=2a,BC=a,\widehat{ABC}=120^0$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\cdot \sin 120^0=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$, $S_{ABCD}=a^2\sqrt{3}$, $AC=a\sqrt{7}$, $BD=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ $D$ đến $AC$: $DK=\frac{S_{ABCD}}{AC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{a\sqrt{7}}=a\sqrt{\frac{3}{7}}$, nên $S_{SAC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot \sqrt{S{D}^2+D{K}^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\sqrt{S{D}^2+\frac{3a^2}{7}}$.

Khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$: $d=\frac{S_{ABC}\cdot SD}{S_{SAC}}$ (thể tích $V_{S.ABC}=V_{B.SAC}$). Góc giữa $SB$ và $(SAC)$: $\sin \alpha =\frac{d}{SB}$ với $SB=\sqrt{S{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{S{D}^2+3a^2}$.

Đặt $x=S{D}^2$, điều kiện $\sin \alpha =\frac{1}{4}$ cho (bình phương):
$$\frac{3a^{2}x}{(7x+3a^2)(x+3a^2)}=\frac{1}{16}\Rightarrow 48a^{2}x=(7x+3a^2)(x+3a^2).$$
Với $t=x/a^2$: $7t^2-24t+9=0\Rightarrow t=3$ hoặc $t=\frac{3}{7}$.

Nghiệm $t=\frac{3}{7}$ cho $V=\frac{a^3}{\sqrt{7}}$ (không có trong đáp án); nghiệm $t=3$ coming $SD=a\sqrt{3}$ cho:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SD=\frac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=a^3.$$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $a^3$, chọn đáp án A.