Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=2a$, $SA$ vuông góc với đáy, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{4a}{3}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $SA=h$. Đáy vuông cân tại $A$ với $AB=AC=2a$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$, $V=\frac{2a^{2}h}{3}$. Dùng hệ thức khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục đôi một vuông góc: $\frac{1}{d^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{2a^2}$. Với $d=\frac{4a}{3}$: $\frac{9}{16a^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{2a^2}\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{16a^2}\Rightarrow h=4a$. Kiểm tra bằng tọa độ: mặt $(SBC)$ có phương trình $\frac{x}{2a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{4a}=1$, khoảng cách từ $A$ (gốc tọa độ) bằng $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{16a^2}}}=\frac{4a}{3}$, khớp đề bài. Vậy $V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot 4a=\frac{8a^3}{3}$.