Cho tứ diện $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc. Kẻ $OH\perp (ABC)$.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.

b) Chứng minh $OA\perp BC$; $OB\perp AC$; $OC\perp AB$

c) Chứng minh rằng $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

d) Chứng minh rằng $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OA=a,OB=b,OC=c$.

a) Vì $OA\perp OB,OA\perp OC$ nên $OA\perp (OBC)$, suy ra $OA\perp BC$. Tương tự $OB\perp AC$, $OC\perp AB$ (đây là phần b, dùng cho a).

Tam giác $ABC$ có:
$$A{B}^2=a^2+b^2,A{C}^2=a^2+c^2,B{C}^2=b^2+c^2.$$
Áp dụng định lí côsin:
$$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}=\frac{2a^2}{2AB\cdot AC}>0,$$
$$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB\cdot BC}=\frac{2b^2}{2AB\cdot BC}>0,\cos C=\frac{2c^2}{2AC\cdot BC}>0.$$
Vậy ba góc của tam giác $ABC$ đều nhọn.

b) $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$ nên $OA\perp (OBC)\Rightarrow OA\perp BC$. Tương tự $OB\perp (OAC)\Rightarrow OB\perp AC$; $OC\perp (OAB)\Rightarrow OC\perp AB$.

c) Gọi $D=AH\cap BC$. Vì $OA\perp BC$ (câu b) và $OH\perp (ABC)$ nên $OH\perp BC$. Suy ra $BC\perp (OAH)$, do đó $BC\perp AH$, tức $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$. Tương tự, với $E=BH\cap AC$: $AC\perp OB$ và $AC\perp OH$ nên $AC\perp (OBH)\Rightarrow AC\perp BH$. Vậy $H$ là giao điểm hai đường cao $AH,BH$, tức $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

d) Trong $(OBC)$ gọi $D$ là chân đường vuông góc từ $O$ xuống $BC$. Tam giác $OBC$ vuông tại $O$ có đường cao $OD$ nên
$$\frac{1}{O{D}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$$
Vì $OA\perp (OBC)$ nên $OA\perp OD$; tam giác $OAD$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$ (vì $OH\perp (ABC)\Rightarrow OH\perp AD$), nên
$$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{D}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$$
Vậy $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$. Đpcm.

Kiểm tra: với $a=b=c=1$ thì $OH=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{1}{O{H}^2}=3=1+1+1$. ✓