Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA\perp (ABCD)$, $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

a) Xác định và tính góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$.

b) Xác định và tính góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$.

c) Xác định và tính góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$.

a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, $SA\perp AD$. Mà $AB\subset (SAB)$, $AD\subset (SAD)$ nên $SA$ là cạnh của nhị diện $[B,SA,D]$. Góc phẳng nhị diện là $\widehat{BAD}=90^{\circ }$ (do $ABCD$ là hình vuông).

b) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) suy ra $BD\perp (SAC)$. Do đó $(SAC)$ là mặt phẳng vuông góc với cạnh $BD$, cắt $(SBD)$ theo $SO$ và $(ABD)$ theo $AO$. Góc nhị diện $[S,BD,A]$ là $\widehat{SOA}$.
Tính: $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên $SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=a$. Vậy $\cos \widehat{SOA}=\frac{AO}{SO}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SOA}=45^{\circ }$.

c) Tương tự, góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$ với $CO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SO=a$, nên $\cos \widehat{SOC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SOC}=45^{\circ }$.