Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$. $SA=a$ và $SA$ vuông góc với $(ABCD)$. Gọi $M,H,K$ lần lượt là trung điểm của $SD,AD$ và $AB$.

a) Xác định số đo của góc nhị diện $[K,AC,M]$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CM$.

Gợi ý làm bài:



Gọi $I$ là giao điểm của $KH$ với $AC$. Ta có $MH\perp (ABCD)$ vì $MH//SA$ [0.25]

Ta có $\left[K,AC,M\right]=\widehat{KIM}$ vì $\{\begin{array}{l}KI//BD\to KI\perp AC\\ (MIH)\perp AC\to MI\perp AC\end{array}$

Xét $\Delta MIH$ vuông tại H có.

$$HM=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2};IH=\frac{1}{2}OD=\frac{a\sqrt{2}}{4}.\tan \widehat{MIH}=\frac{MH}{IH}=\sqrt{2}$$

Suy ra $\widehat{MIH}\approx 54,7^0$ do đó $\left[K,AC,M\right]\approx 125,3^0$ [0.25]

Ta có $OM//SB$ suy ra $SB//(ACM)$. [0.25]
Do đó $d(SB,CM)=d\left(SB,(ACM)\right)=d\left(B,(ACM)\right)=d\left(D,(ACM)\right)$.
H là trung điểm của AD.
$$\Rightarrow d(SB,CM)=d\left(D,(ACM)\right)=2d\left(H,(ACM)\right).$$
Trong $\Delta MIH$ kẻ $HE\perp MI\Rightarrow HE\perp (MAC)$ hay $d\left(H,(ACM)\right)=HE$.
Xét $\Delta MIH$ vuông tại H có.
$$HE=\frac{HM.HI}{\sqrt{H{M}^2+H{I}^2}}=\frac{\sqrt{3}a}{6}$$ [0.25]

Vậy $d(SB,CM)=2d\left(H,(ACM)\right)=2HK=\frac{\sqrt{3}a}{3}$.

Lưu ý: Chỉ ra được góc (khoảng cách) mỗi ý cho 0.25 điểm
Tính đúng góc (khoảng cách) mỗi ý cho 0.25 điểm