Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là vuông cạnh $a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Vẽ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),C(a,a,0),S(0,0,a\sqrt{3})$.
a) $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, mà $AH\subset (SAB)$ nên $BC\perp AH$: đúng.
b) $AH\perp SB$, $AH\perp BC$ nên $AH\perp (SBC)$. Trong tam giác vuông $SAB$: $AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$: đúng.
c) Mặt phẳng $(SBD)$: $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a\sqrt{3}}=1$. Khoảng cách từ $A$: $\frac{1}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}}=\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$, tức $d=\frac{a\sqrt{21}}{7}\ne \frac{a\sqrt{2}}{7}$: sai.
d) $H=\left(\frac{3a}{4},0,\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$, $K=\left(0,\frac{3a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$. Mặt phẳng $(AHK)$ qua $A$ có pháp tuyến $H\times K\propto (-\sqrt{3},-\sqrt{3},3)$, phương trình $\sqrt{3}x+\sqrt{3}y-3z=0$. $d(C,(AHK))=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{15}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\ne \frac{a\sqrt{5}}{5}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp AH$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AH\perp (SBC)$ và $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $\frac{a\sqrt{21}}{7}$, không phải $\frac{a\sqrt{2}}{7}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, không phải $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.