Cho hình chóp $S.ABCD$ có đường cao $SA=2a$, đáy $ABCD$ là hình thap vuông ở $A$ và $D$, $AB=2a,AD=CD=a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$ (vì hình thang vuông ở $A,D$: $AD\perp AB$, $AD\perp CD$), $S(0;0;2a)$.

$\overrightarrow{SB}=(2a;0;-2a)$, $\overrightarrow{SC}=(a;a;-2a)$.
Pháp vector $(SBC)$: $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(2a^2;2a^2;2a^2)\parallel (1;1;1)$.
Mặt phẳng $(SBC)$ qua $S(0;0;2a)$: $x+y+z=2a$.

$d(A,(SBC))=\frac{|0+0+0-2a|}{\sqrt{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Kiểm tra lại bằng thể tích: $BC=\sqrt{(2a-a{)}^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $SB=2a\sqrt{2}$, $SC=\sqrt{a^2+a^2+4a^2}=a\sqrt{6}$. Diện tích $△SBC$ qua công thức Heron hoặc $\frac{1}{2}|\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}|=\frac{1}{2}\cdot 2a^2\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}$. Thể tích chóp $S.ABC$ $=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a=\frac{2a^3}{3}$.
$d(A,(SBC))=\frac{3V_{A.SBC}}{S_{SBC}}=\frac{3\cdot \frac{2a^3}{3}}{a^2\sqrt{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Khớp.