Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{AB{B}^{\prime }}=\widehat{ABC}=\widehat{CB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$, $AB=2,BC=3,B{B}^{\prime }=1$. Gọi $M$ điểm thuộc đường thẳng $AC$, $N$ là điểm thuộc đường thẳng $D{C}^{\prime }$ sao cho hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ cùng phương. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ đơn vị: đặt $B$ làm gốc, $\vec{u}$ theo $\overrightarrow{BA}$, $\vec{v}$ theo $\overrightarrow{BC}$, $\vec{w}$ theo $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ với các cặp vectơ đôi một góc $60^{\circ }$. Khi đó $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\frac{1}{2}$.

Ta có: $A=2\vec{u}$, $C=3\vec{v}$, $D=A+C-B=2\vec{u}+3\vec{v}$, $C^{\prime }=3\vec{v}+\vec{w}$, $D^{\prime }=2\vec{u}+3\vec{v}+\vec{w}$.

$M\in AC$: $M=2\vec{u}+t(3\vec{v}-2\vec{u})=(2-2t)\vec{u}+3t\vec{v}$.

$N\in D{C}^{\prime }$: $N=2\vec{u}+3\vec{v}+s(\vec{w}-2\vec{u})=(2-2s)\vec{u}+3\vec{v}+s\vec{w}$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=(2t-2s)\vec{u}+(3-3t)\vec{v}+s\vec{w}$.

Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=2\vec{u}+3\vec{v}+\vec{w}$ nên $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, dẫn đến hệ:
$2t-2s=2k$, $3-3t=3k\Rightarrow t=1-k$, $s=k$.

Thay vào: $2(1-k)-2k=2k\Rightarrow k=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Tính $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}{|}^2=4+9+1+2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=14+6+2+3=25$, nên $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=5$.

Do đó $MN=\frac{1}{3}\cdot 5=\frac{5}{3}$. Đáp án D.