Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=3;A{A}^{\prime }=5$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,C{C}^{\prime }$. Tính $\cos (MN,A^{\prime }C)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp số: 0,04

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với điểm $A(0;0;0)$ trùng với gốc tọa độ.



Khi đó $B(0;3;0)$, $D(3;0;0)$, $C(3;3;0)$, $A^{\prime }(0;0;5)$, $C^{\prime }(3;3;5)$

$M$ là trung điểm của đoạn $AB$ nên $M\left(0;\frac{3}{2};0\right)$

$N$ là trung điểm của đoạn $C{C}^{\prime }$ nên $N\left(3;3;\frac{5}{2}\right)$

Khi đó: $\overrightarrow{MN}=\left(3;\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(3;3;-5)$

Ta có:

$$\cos \left(\overrightarrow{MN};\overrightarrow{A^{\prime }C}\right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A^{\prime }C}}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|}=\frac{3.3+\frac{3}{2}.3+\frac{5}{2}.(-5)}{\sqrt{3^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}.\sqrt{3^2+3^2+(-5{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1505}{2}}}\approx 0,04$$

(Lưu ý: bản gốc in nhầm $3^3$ thay vì $3^2$ trong $\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|$; kết quả $\frac{1}{\sqrt{1505/2}}\approx 0,04$ chỉ đúng với $3^2$.)

Vậy: $\cos \left(MN;A^{\prime }C\right)\approx 0,04$