Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). [Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $M\in BC\subset (ABC)$, mà hai đáy $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(ABC)$, kể cả $AM$, đều song song với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
b) Sai: đặt tọa độ $A(0;0;1),B(1;0;1),C(0;1;1),A^{\prime }(0;0;0),B^{\prime }(1;0;0),C^{\prime }(0;1;0)$ thì $M(0,5;0,5;1)$, $N(0;0,5;0)$. Đường $MN$ luôn có $y=0,5$ còn $B{B}^{\prime }$ nằm trên đường $y=0$, nên $MN$ và $B{B}^{\prime }$ chéo nhau, không cắt nhau.
c) Đúng: $B^{\prime }M\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }M)$; hai đường $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }M$ cùng nằm trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và không song song nên cắt nhau tại $I$. Vì $I\in B{C}^{\prime }$ và $I\in B^{\prime }M\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }M)$ nên $I$ là giao điểm của $B{C}^{\prime }$ với $(A^{\prime }{B}^{\prime }M)$.
d) Sai: với tọa độ trên, $MN$ có vectơ chỉ phương $(-0,5;0;-1)$ (không có thành phần theo $y$) và điểm $M$ có $y=0,5\ne 0$, trong khi $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng $y=0$; do đó $MN\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và không cắt mặt phẳng này.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 2: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$M\in BC\subset (ABC)$ và $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $AM\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã đặt, $MN$ luôn có $y=0,5$ còn $B{B}^{\prime }$ có $y=0$, hai đường chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }M$ cùng nằm trong $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, cắt nhau tại $I\in (A^{\prime }{B}^{\prime }M)$, nên giao điểm của $B{C}^{\prime }$ với $(A^{\prime }{B}^{\prime }M)$ chính là giao điểm của $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ có vectơ chỉ phương không có thành phần theo $y$ và nằm hoàn toàn trong miền $y=0,5$, khác mặt phẳng $y=0$ của $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $MN\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, không cắt.