Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng 1. Một lục giác $MNPQEF$ thoả mãn các đỉnh $M,N,P,Q,E,F$ lần lượt thuộc các cạnh $AD,AB,B{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime },C^{\prime }{D}^{\prime },D^{\prime }D$ và $MN\parallel BD$, $NP\parallel A{B}^{\prime }$. Chu vi của lục giác $MNPQEF$ nhỏ nhất bằng

(AI giải đề cho tôi)
Gắn tọa độ: $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(1,1,1),D^{\prime }(0,1,1)$. Đặt $M(0,m,0)\in AD$, $N(n,0,0)\in AB$, $P(1,0,p)\in B{B}^{\prime }$, $Q(1,q,1)\in B^{\prime }{C}^{\prime }$, $E(e,1,1)\in C^{\prime }{D}^{\prime }$, $F(0,1,f)\in D^{\prime }D$.

- $MN\parallel BD$ với $BD=(-1,1,0)$: $MN=(n,-m,0)\Rightarrow n=m$, suy ra $MN=m\sqrt{2}$.
- $NP\parallel A{B}^{\prime }$ với $A{B}^{\prime }=(1,0,1)$: $NP=(1-n,0,p)\Rightarrow p=1-n$, suy ra $NP=(1-n)\sqrt{2}$.
- $PQ=(0,q,1-p)=(0,q,n)\parallel B{C}^{\prime }=(0,1,1)\Rightarrow q=n$, $PQ=n\sqrt{2}$.
- $QE=(e-1,1-q,0)\parallel CA$ hướng $(-1,-1,0)\Rightarrow e=q$, $QE=(1-q)\sqrt{2}$.
- $EF=(-e,0,f-1)=(-q,0,f-1)\parallel (-1,0,-1)\Rightarrow f=1-q$, $EF=q\sqrt{2}$.
- $FM=(0,m-1,-f)\parallel (0,-1,-1)\Rightarrow m=1-q$.

Kết hợp $m=n=q$ và $m=1-q$ suy ra $m=n=q=e=\frac{1}{2}$, $f=\frac{1}{2}$. Lục giác khi đó có cả sáu cạnh bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$, chu vi $=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$. Vậy chu vi nhỏ nhất (và duy nhất) là $3\sqrt{2}$, trùng đáp án C.