Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{ll}{u}_1=\frac{1}{3}& \\ u_{n+1}=\frac{n+1}{3n}{u}_n& \left(n\in N^{\ast }\right)\end{array}$$ Tính tổng $S=u_1+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+\dots +\frac{u_{10}}{10}$

An đã tạo ra một cầu thang 3 bậc bằng 18 que tăm như hình minh họa. Vậy An cần thêm bao nhiêu que tăm để hoàn thành một cầu thang 5 bậc?

Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-1}=\frac{-1}{2}$ $(a,b\in R)$. Tính tổng $S=a^3+b^2$

Một khối đá có dạng hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với cạnh đáy bằng 2 $dm$, khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}dm$. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của khối đá hình lăng trụ đã cho theo đơn vị $dm$.

Cho hàm số $f(x)=e^{e^x}$. Giá trị $f^{\prime }(0)=$ ?

Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình $s=f(t)=t^3-6t^2+9t$. Trong đó $s$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây. Tại thời điểm nào vật đứng yên?

Cho hàm số $f(x)=\ln |x|$. Điểm $A$ thuộc đồ thị hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $A$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{8}$. Tung độ của điểm $A$ bằng

Một hình vuông có diện tích bằng 1 $d{m}^2$. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

Cho hàm số $f(x)=2\cos x+x$.

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Khi đó:

Một công ty phát triển giáo dục dự định in $a(a\in \mathbb{N})$ cuốn sách luyện đề minh họa cho học sinh. Công ty đã khảo sát và tính được chi phí để xuất bản $a$ cuốn sách này được biểu diễn bởi hàm số: $C(a)=a^2-2000a+25000000$ (đồng) và chi phí phát hành cho mỗi cuốn sách là 5000 đồng.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $3a^3$ và mặt đáy $ABCD$ là hình bình hành. Biết diện tích tam giác $SAB$ bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Biết khoảng cách giữa $SB$ và $CD$ bằng $m\times a$ với $m\in \mathbb{R}$. Tính giá trị m và làm tròn đến hàng phần chục.

Trên một banner quảng cáo, người ta gắn 17 chiếc bóng đèn vào một khung hình vuông cũng như hai đường chéo của hình vuông đó. Biết rằng các bóng đèn trên một cạnh hoặc đường chéo thì chia cạnh hoặc đường chéo đó làm các đoạn bằng nhau (xem hình vẽ). Các bóng đèn sẽ sáng lên theo quy luật sau:

- Vào phút thứ nhất sẽ có ngẫu nhiên 1 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ nhất nó sẽ tắt.
- Vào phút thứ 2 sẽ có ngẫu nhiên 2 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ hai chúng sẽ tắt.
- Vào phút thứ 3 sẽ có ngẫu nhiên 3 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ ba chúng sẽ tắt.

Quy luật này cứ tiếp diễn cho đến phút thứ 17 và một chu trình mới sẽ được lặp lại. Tính xác suất để từ phút thứ 3 cho đến phút thứ 17, luôn có ít nhất 3 bóng đèn sáng lên ở 3 đỉnh của một tam giác (làm tròn đến hàng phần trăm).