Một khối đá có dạng hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với cạnh đáy bằng 2 $dm$, khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}dm$. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của khối đá hình lăng trụ đã cho theo đơn vị $dm$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $h=A{A}^{\prime }$ là chiều cao lăng trụ. Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(1,\sqrt{3},0)$, $A^{\prime }(0,0,h)$, $B^{\prime }(2,0,h)$, $C^{\prime }(1,\sqrt{3},h)$. Vectơ pháp tuyến của $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $\vec{n}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(-h\sqrt{3},-h,2\sqrt{3})$. Khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $d=\frac{2\sqrt{3}h}{\sqrt{4h^2+12}}=\frac{\sqrt{3}h}{\sqrt{h^2+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\frac{h^2}{h^2+3}=\frac{1}{4}\Rightarrow 4h^2=h^2+3\Rightarrow h=1$. Vậy khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng $A{A}^{\prime }=1dm$, chọn đáp án D (khớp với đáp án nguồn, mã đề 101 câu 9 là D).