Cho khối chóp $S.ABC$ có $AB\perp BC$, $BC\perp SC$, $SC\perp SA$, $BC=a$, $SC=a\sqrt{15}$ và góc giữa $AB,SC$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.
Vì $BC\perp AB$ và $BC\perp SC$ nên $BC\perp (SAB)$ hoặc kẻ đường thẳng song song.
Từ $SC\parallel HB$, ta có góc giữa $AB$ và $SC$ bằng góc giữa $AB$ và $HB$, suy ra $\widehat{ABH}=30^{\circ }$.
Khi đó $AH=HB\tan 30^{\circ }=SC\tan 30^{\circ }=a\sqrt{15}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=a\sqrt{5}$.
Diện tích tam giác vuông $SBC$ là $S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot SC=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{15}=\frac{a^2\sqrt{15}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}AH\cdot S_{\Delta SBC}=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{5}\cdot \frac{a^2\sqrt{15}}{2}=\frac{5a^3}{2}$.