Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$, $BC=2$, $\widehat{BAC}=30^{\circ }$ và $\widehat{BGC}=90^{\circ }$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là trung điểm BC. Vì G là trọng tâm nên G nằm trên trung tuyến AM và GA = 2GM. Tam giác BGC vuông tại G có M là trung điểm cạnh huyền BC nên GM = BC/2 = 1, suy ra GA = 2, AM = 3. Công thức trung tuyến: AM² = (2AB² + 2AC² − BC²)/4 ⇒ 9 = (2b² + 2c² − 4)/4 ⇒ b² + c² = 20. Định lí cosin: BC² = b² + c² − 2bc·cos30° ⇒ 4 = 20 − bc√3 ⇒ bc = 16/√3. Diện tích S = ½bc·sin30° = 4/√3 ≈ 2,3094. (b+c)² = b² + c² + 2bc = 20 + 32/√3 ≈ 38,4752 ⇒ b + c ≈ 6,2029, nửa chu vi p ≈ 4,1015. Bán kính nội tiếp r = S/p ≈ 2,3094/4,1015 ≈ 0,5631 ≈ 0,56, khớp đáp án nguồn.