Cho tam giác $ABC$ đều có độ dài cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: quy tắc trung điểm $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ với $M$ là trung điểm $BC$.

b) Sai: $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $MG=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$, $CG=\frac{2CM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Trên đường trung tuyến $AM$, thứ tự các điểm là $C-G-M$, nên hai vectơ $\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{CG}$ ngược hướng. Do đó $\overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{CG}=-MG\cdot CG=-\frac{a^2}{6}\ne \frac{a^2}{12}$.

c) Sai: góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2\cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$, nên góc bằng $120^{\circ }$ (góc trong tam giác tại $B$ là $60^{\circ }$ nhưng hai vectơ này ngược hướng tạo góc ngoài).

d) Sai: vì $G$ là trọng tâm, $M$ trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$, do đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GM}=4\overrightarrow{GM}\ne \vec{0}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $MG=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$, $CG=\frac{2CM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Trên đường trung tuyến $AM$, thứ tự các điểm là $C-G-M$ (do $G$ nằm giữa $A$ và $M$), nên hai vectơ $\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{CG}$ ngược hướng. Do đó $\overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{CG}=-MG\cdot CG=-\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=-\frac{a^2}{6}\ne \frac{a^2}{12}$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\frac{a^2}{2}$ nên góc giữa hai vectơ là $120^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ nên tổng bằng $4\overrightarrow{GM}\ne \vec{0}$.