Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,BC=2a$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a$, $BC=2a$ nên $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
a) $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=30^{\circ }\ne 60^{\circ }$ ⇒ Sai.
b) $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$ nên $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA||BC|\cos B=a\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}=a^2$ ⇒ Đúng.
c) Góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$ là $180^{\circ }-C=150^{\circ }$, nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3a^2\ne 3a^2$ ⇒ Sai.
d) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$; $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=-3a^2$; $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ (vì $CA\perp AB$). Tổng $=-a^2-3a^2+0=-4a^2$ ⇒ Đúng.
Lưu ý: nguồn in nhãn mệnh đề thứ tư là 'b)' (lỗi đánh số gốc), thực chất là mệnh đề d).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=a\cdot 2a\cdot \cos B=2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \cos (180^{\circ }-30^{\circ })=-3a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$, $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=-3a^2$, $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, tổng bằng $-4a^2$.