Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_2\frac{x^2+y^2+2}{2x+y}+x^2+2x+3y^2-y\le 0$ với $x\le 2022$?

Vì $x,y$ là các số nguyên dương nên $x\ge 1,y\ge 1$. Ta có $x^2+y^2+2\ge 2x+y>0\Rightarrow {\log }_2\frac{x^2+y^2+2}{2x+y}\ge 0$, đồng thời $x^2+2x+3y^2-y=x(x+2)+y(3y-1)\ge 3+2=5>0$. Do đó vế trái luôn dương với mọi $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên không có cặp số nguyên dương $(x;y)$ nào thỏa mãn bất phương trình.