Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $\frac{{\log }_3(x-2)-1}{\sqrt{3^x-m}}<0$ có nghiệm?

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $racext{log}_3(x-2)-1extsqrt{3}^x-m<0$ có nghiệm khi tồn tại $x$ sao cho mẫu dương và tử âm. Mẫu: $3^x-m>0$ (khác 0 là đủ vì căn). Tử âm: $ext{log}_3(x-2)<1\iff 0<x-2<5\iff 2<x<5$. Trên khoảng $(2;5)$, $3^{x}extin(9;243)$ liên tục, nên tồn tại $x$ với $3^x>m$ khi và chỉ khi $m<243$. Với $mextle8$ mọi $xextin(2;5)$ đều thỏa; với $9extlem<243$ chọn $x>ext{log}_{3}m$ (và $<5$ vì $ext{log}_{3}m<5$). Vậy $mextinext{mathbbZ}^{+}$, $mextle242$: có 242 giá trị.