Có bao nhiêu giá trị thực của $m$ sao cho với mỗi giá trị của $m$ có duy nhất một cặp số nguyên không âm $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $x^2+y^2\ge 16$, ${\log }_{x^2+2y^2+1}\left(y^2+8x+1\right)\ge 1$ và $mx+y-1-3m=0$?

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện log: do $x^2+y^2\ge 16$ nên $(x,y)\ne (0,0)$, cơ số $x^2+2y^2+1>1$. Khi đó ${\log }_{x^2+2y^2+1}(y^2+8x+1)\ge 1⟺y^2+8x+1\ge x^2+2y^2+1⟺x^2+y^2\le 8x$, tức $(x-4{)}^2+y^2\le 16$. Kết hợp $x^2+y^2\ge 16$ với $x,y$ nguyên không âm, liệt kê được các điểm: $(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),(7,0),(7,1),(7,2),(8,0)$. (Lưu ý điểm $(3,3)$ cũng thuộc $(x-4{)}^2+y^2\le 16$ và $x^2+y^2=18\ge 16$, nhưng thay vào phương trình $mx+y-1-3m=0$ được $3m+3-1-3m=2\ne 0$, nên $(3,3)$ không cho giá trị $m$ nào.) Phương trình $mx+y-1-3m=0⟺m(x-3)=1-y$ là họ đường thẳng qua điểm cố định $P(3,1)$, không thuộc tập điểm trên. Với mỗi điểm $(x,y)$ có $m=\frac{y-1}{3-x}$: $(4,0)\to 1$; $(4,1)\to 0$; $(4,2)\to -1$; $(4,3)\to -2$; $(4,4)\to -3$; $(5,0)\to \frac{1}{2}$; $(5,1)\to 0$; $(5,2)\to -\frac{1}{2}$; $(5,3)\to -1$; $(6,0)\to \frac{1}{3}$; $(6,1)\to 0$; $(6,2)\to -\frac{1}{3}$; $(6,3)\to -\frac{2}{3}$; $(7,0)\to \frac{1}{4}$; $(7,1)\to 0$; $(7,2)\to -\frac{1}{4}$; $(8,0)\to \frac{1}{5}$. Trong đó $m=0$ xuất hiện 4 lần (các điểm có $y=1$) và $m=-1$ xuất hiện 2 lần, nên các giá trị này bị loại. Số giá trị $m$ còn lại, mỗi giá trị ứng với đúng một cặp $(x,y)$: $1,-2,-3,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}$ — tổng cộng 11 giá trị. Vậy có 11 giá trị của $m$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 221, Phần III Câu 2 = 11).