Có một công viên nhỏ hình tam giác như Hình 2. Người ta dự định đặt một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên (Giả sử vùng mà cây đèn chiếu sáng được biểu diễn bằng một hình tròn). Để công việc tiến hành thuận lợi, người ta đo đạc và mô phỏng các kích thước công viên như Hình 1. Thiết lập một hệ trục như Hình 3, khi đó các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là , , . Gọi là điểm đặt cây đèn sao cho đèn chiếu sáng toàn bộ công viên. Tìm tọa độ điểm đặt cây đèn?
Có một công viên nhỏ hình tam giác như Hình 2. Người ta dự định đặt một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên (Giả sử vùng mà cây đèn chiếu sáng được biểu diễn bằng một hình tròn). Để công việc tiến hành thuận lợi, người ta đo đạc và mô phỏng các kích thước công viên như Hình 1. Thiết lập một hệ trục như Hình 3, khi đó các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là , , . Gọi là điểm đặt cây đèn sao cho đèn chiếu sáng toàn bộ công viên. Tìm tọa độ điểm đặt cây đèn?
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Đèn chiếu sáng toàn bộ tam giác khi và chỉ khi đường tròn tâm I đi qua ba đỉnh A, B, C, tức I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi I(x; y). Vì IB = IC nên I nằm trên trung trực của BC; do B(4;0), C(4;7) nên trung trực là y = 3,5. Vì IA = IB: x² + (y−3)² = (x−4)² + y² ⟺ 8x − 6y − 7 = 0. Thay y = 3,5: 8x = 28 ⟹ x = 3,5. Kiểm tra: IA = √(3,5² + 0,5²) = √12,5 = IB = IC = √(0,5² + 3,5²). Vậy đặt đèn tại I(3,5; 3,5), bán kính chiếu sáng √12,5 ≈ 3,54.
Đèn chiếu sáng toàn bộ tam giác khi và chỉ khi đường tròn tâm I đi qua ba đỉnh A, B, C, tức I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi I(x; y). Vì IB = IC nên I nằm trên trung trực của BC; do B(4;0), C(4;7) nên trung trực là y = 3,5. Vì IA = IB: x² + (y−3)² = (x−4)² + y² ⟺ 8x − 6y − 7 = 0. Thay y = 3,5: 8x = 28 ⟹ x = 3,5. Kiểm tra: IA = √(3,5² + 0,5²) = √12,5 = IB = IC = √(0,5² + 3,5²). Vậy đặt đèn tại I(3,5; 3,5), bán kính chiếu sáng √12,5 ≈ 3,54.