Đội thanh niên xung kích của một trường THPT có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp $A$, 4 học sinh lớp $B$ và 3 học sinh lớp $C$. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho mỗi lớp đều có học sinh.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 12 (5 lớp A, 4 lớp B, 3 lớp C) sao cho cả ba lớp đều có người. Vì chọn 4 người nên các phân bố (A,B,C) khả dĩ là (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2):
- (2,1,1): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=10\cdot 4\cdot 3=120$.
- (1,2,1): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=5\cdot 6\cdot 3=90$.
- (1,1,2): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=5\cdot 4\cdot 3=60$.
Tổng: $120+90+60=270$ cách.
Kiểm tra bằng phương pháp bù - bao hàm: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)=495$; thiếu C: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$; thiếu B: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$; thiếu A: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)=35$; chỉ lớp A: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)=5$; chỉ lớp B: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=1$; chỉ lớp C: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}\right)=0$. Vậy $495-126-70-35+5+1+0=270$, khớp kết quả.