Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét phương trình $x^2+y^2-2mx+2(m+1)y+5=0$. Tìm giá trị của $m$ để phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2-2mx+2(m+1)y+5=0$ có dạng $x^2+y^2+ax+by+c=0$ với $a=-2m$, $b=2(m+1)$, $c=5$. Tâm $I\left(m;-(m+1)\right)$ và $R^2=\frac{a^2+b^2}{4}-c=m^2+(m+1{)}^2-5=2m^2+2m-4$. Phương trình là đường tròn khi và chỉ khi $R^2>0$: $2m^2+2m-4>0\iff m^2+m-2>0\iff (m-1)(m+2)>0\iff m<-2$ hoặc $m>1$. Vậy $m\in (-\infty ;-2)\cup (1;+\infty )$. Kiểm tra: tại $m=1$ hoặc $m=-2$ thì $R=0$ (điểm), không phải đường tròn; kết quả khớp với lời giải AI đã cho.