Một hộ kinh doanh ở làng nghề nước mắm ở Hải Giang (Cửa Lò, Nghệ An) muốn xây dựng một bồn chứa dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích $V=64m^3$. Đáy bồn là hình vuông. Chi phí xây dựng được tính dựa trên diện tích bề mặt vật liệu, trong đó chi phí vật liệu cho mặt đáy bồn là $k$ (nghìn đồng/$m^2$) và chi phí vật liệu cho các mặt bên là $\frac{k}{4}$ (nghìn đồng/$m^2$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là cạnh đáy (m), $h$ là chiều cao (m). Thể tích $V=x^{2}h=64\Rightarrow h=\frac{64}{x^2}$ (m) với $x>0$.

a) Diện tích đáy: $x^2$, chi phí đáy: $k{x}^2$. Diện tích 4 mặt bên: $4xh=4x\cdot \frac{64}{x^2}=\frac{256}{x}$, chi phí các mặt bên: $\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=\frac{64k}{x}$. Vậy $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+\frac{256k}{x}$ → SAI.

b) $h=\frac{64}{x^2}$ → ĐÚNG.

c) Tổng diện tích bề mặt vật liệu: $x^2+\frac{256}{x}$ (m²), không phải $x^2+\frac{128}{x}$ → SAI.

d) $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, $C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\Rightarrow x^3=32\Rightarrow x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m (do $C^{\prime }(x)<0$ khi $x<\sqrt[3]{32}$ và $C^{\prime }(x)>0$ khi $x>\sqrt[3]{32}$). Vậy chi phí nhỏ nhất khi $x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m, không phải 4 m → SAI.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần II câu 1: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí đúng là $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$ vì chi phí mặt bên $=\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+\frac{256k}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $V=x^{2}h=64$ suy ra $h=\frac{64}{x^2}$ (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích là $x^2+4xh=x^2+\frac{256}{x}$ (m²), không phải $x^2+\frac{128}{x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m, không phải 4 m.