Một màn hình chữ nhật cao 1,4m và đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt.



Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn hình? Biết rằng góc $BOC$ nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $OA=x$ (khoảng cách từ mắt đến màn hình, $x>0$). Đặt $A$ là chân đường vuông góc từ mắt, $B$ là đáy màn hình (cao $1,8$ m), $C$ là đỉnh màn hình (cao $1,8+1,4=3,2$ m). Ta có $\tan \angle BOA=\frac{1,8}{x}$, $\tan \angle COA=\frac{3,2}{x}$. Góc nhìn $\theta =\angle BOC$ nên $$\tan \theta =\frac{\frac{3,2}{x}-\frac{1,8}{x}}{1+\frac{3,2}{x}\cdot \frac{1,8}{x}}=\frac{1,4x}{x^2+5,76}.$$ Vì $\theta$ nhọn nên $\tan \theta$ đồng biến theo $\theta$; xét $f(x)=\frac{1,4x}{x^2+5,76}$, $f^{\prime }(x)=\frac{1,4(5,76-x^2)}{(x^2+5,76{)}^2}$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=2,4$ (vì $x>0$). Với $0<x<2,4$ thì $f^{\prime }>0$, với $x>2,4$ thì $f^{\prime }<0$, nên $f$ đạt max tại $x=2,4$. Vậy vị trí đứng cách màn hình $2,4$ m.