Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy bằng 20cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván (theo đơn vị cm${}^2$ và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông nội tiếp đường tròn R=20 có cạnh 20√2, khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh là d = 20cos45° = 10√2. Mỗi tấm ván là hình chữ nhật nội tiếp trong hình phân giác giữa một cạnh hình vuông và cung tròn, với cạnh đáy nằm trên cạnh hình vuông. Gọi nửa chiều rộng là x, chiều cao là y; đỉnh trên có tọa độ (x, d+y) thuộc đường tròn: x² + (d+y)² = 400 ⇒ y = √(400−x²) − 10√2. Diện tích S(x) = 2x(√(400−x²) − 10√2), với 0 < x < 10√2. S'(x) = 0 ⇒ (400−2x²)/√(400−x²) = 10√2 ⇒ x⁴ − 350x² + 20000 = 0 ⇒ x² = 175 − 25√17 ≈ 71,9224 (nghiệm 175 + 25√17 > 200 loại). Khi đó x ≈ 8,4807; y = √328,0776 − 10√2 ≈ 18,1130 − 14,1421 ≈ 3,9709. Diện tích lớn nhất S = 2xy ≈ 2·8,4807·3,9709 ≈ 67,352 ≈ 67,4 cm². Kiểm tra: S'(x) > 0 với x nhỏ và S'(x) < 0 gần 10√2 nên đây là cực đại.