Tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\log }_{2021}(x+2)-{\log }_{2021}\frac{1}{5-2x}+{\log }_{\frac{1}{2021}}(-x^3+x^2+x+m+8)=0$ có ba nghiệm phân biệt là $T=(a;b)$. Tổng $S=a+8b$ bằng

Chọn C.
Điều kiện: $-2<x<\frac{5}{2}$ và $-x^3+x^2+x+m+8>0$.
Phương trình biến đổi về:
${\log }_{2021}[(x+2)(5-2x)]={\log }_{2021}(-x^3+x^2+x+m+8)$
$\iff -2x^2+x+10=-x^3+x^2+x+m+8\iff x^3-3x^2+2=m$.
Xét hàm số $g(x)=x^3-3x^2+2$ trên khoảng $(-2;\frac{5}{2})$:
$g^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Ta có $g(0)=2$, $g(2)=-2$, $g(-2)=-18$, $g\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{9}{8}$.
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt trên khoảng $(-2;\frac{5}{2})$ thì $-2<m<-\frac{9}{8}$.
Vậy $T=(a;b)=\left(-2;-\frac{9}{8}\right)\Rightarrow a=-2,b=-\frac{9}{8}$.
Suy ra $S=a+8b=-2+8\left(-\frac{9}{8}\right)=-2-9=-11$.