Tìm $m$ để góc hợp bởi hai đường thẳng ${\Delta }_1:\sqrt{3}x-y+7=0$ và ${\Delta }_2:mx+y+1=0$ một góc bằng $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức góc giữa hai đường thẳng. ${\Delta }_1$ có VTPT $n_1=(\sqrt{3};-1)$, ${\Delta }_2$ có VTPT $n_2=(m;1)$. Góc giữa hai đường bằng $30^{\circ }$ nên $$\cos 30^{\circ }=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|\sqrt{3}m-1|}{2\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Suy ra $|\sqrt{3}m-1|=\sqrt{3}\sqrt{m^2+1}$. Bình phương: $3m^2-2\sqrt{3}m+1=3m^2+3\Rightarrow -2\sqrt{3}m=2\Rightarrow m=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Thử lại: với $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sqrt{3}m-1=-1-1=-2$, $\cos \phi =\frac{2}{2\sqrt{1+1/3}}=\frac{1}{\sqrt{4/3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng $\phi =30^{\circ }$. Vậy $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.