Tính các nguyên hàm sau:

a) $\int e^{\sqrt{x}}dx$ b) $\int \frac{\ln xdx}{\sqrt{x}}$ c) $\int \sin \sqrt{x}dx$

d) $\int \cos \sqrt{x}dx$ e) $\int x.\sin \sqrt{x}dx$ f) $\int \sin \sqrt[3]{x}dx$

g) $\int \frac{\ln (\ln x)}{x}dx$ h) $\int \sin (\ln x)dx$ i) $\int \cos (\ln x)dx$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt biến phụ $t=\sqrt{x}$ (hoặc $\sqrt[3]{x}$, $\ln x$) rồi tích phân từng phần.

a) Đặt $t=\sqrt{x}$, $dx=2tdt$: $\int 2t{e}^{t}dt=2e^t(t-1)+C=2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C$.

b) Đặt $t=\sqrt{x}$, $x=t^2$, $dx=2tdt$: $\int \frac{\ln t^2}{t}2tdt=4\int \ln tdt=4t(\ln t-1)+C=2\sqrt{x}(\ln x-2)+C$.

c) Đặt $t=\sqrt{x}$: $2\int t\sin tdt=2(-t\cos t+\sin t)+C=2(\sin \sqrt{x}-\sqrt{x}\cos \sqrt{x})+C$.

d) Đặt $t=\sqrt{x}$: $2\int t\cos tdt=2(t\sin t+\cos t)+C=2(\sqrt{x}\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x})+C$.

e) Đặt $t=\sqrt{x}$, $dx=2tdt$: $\int 2t^3\sin tdt$. Tích phân từng phần: $\int t^3\sin tdt=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt=-t^3\cos t+3t^2\sin t-6\int t\sin tdt=-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t$. Vậy nguyên hàm $=2\left(3x\sin \sqrt{x}+6\sqrt{x}\cos \sqrt{x}-x\sqrt{x}\cos \sqrt{x}-6\sin \sqrt{x}\right)+C$.

f) Đặt $t=\sqrt[3]{x}$, $x=t^3$, $dx=3t^{2}dt$: $3\int t^2\sin tdt=3(-t^2\cos t+2\int t\cos tdt)=3(-t^2\cos t+2t\sin t+2\cos t)+C=3\left(2\cos \sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{x}\sin \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}\cos \sqrt[3]{x}\right)+C$.

g) Đặt $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$: $\int \ln udu=u\ln u-u+C=\ln x\cdot \ln (\ln x)-\ln x+C$ (với $x>1$).

h) $I=\int \sin (\ln x)dx$. Tích phân từng phần hai lần: $I=x\sin (\ln x)-\int \cos (\ln x)dx=x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)-I$, suy ra $I=\frac{x}{2}\left(\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\right)+C$.

i) Tương tự: $J=\int \cos (\ln x)dx=x\cos (\ln x)+\int \sin (\ln x)dx=x\cos (\ln x)+x\sin (\ln x)-J$, suy ra $J=\frac{x}{2}\left(\sin (\ln x)+\cos (\ln x)\right)+C$.

Kiểm tra nhanh bằng đạo hàm: ví dụ h) đạo hàm của $\frac{x}{2}(\sin \ln x-\cos \ln x)$ là $\frac{1}{2}(\sin \ln x-\cos \ln x)+\frac{1}{2}(\cos \ln x+\sin \ln x)=\sin \ln x$. Đúng.