Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.

a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng $IS=R\sqrt{3}$

(AI giải đề cho tôi)
**a) Chứng minh S.ABC là hình chóp đều.**

Gọi các điểm tiếp xúc của mặt cầu $(I;R)$ với các cạnh SA, SB, SC, AB, BC, CA. Vì tâm I nằm trên đường cao SH nên I cách đều ba mặt bên (do tính đối xứng qua các mặt phẳng đi qua SH — thực chất chứng minh như sau):

Xét mặt phẳng (SAB): hình chiếu của I lên (SAB) là tâm đường tròn tiếp xúc với ba cạnh SA, SB, AB của tam giác SAB (vì khoảng cách từ I đến từng cạnh bằng R và bằng khoảng cách từ hình chiếu đến cạnh đó). Gọi t, u, v lần lượt là độ dài tiếp tuyến từ S, A, B trên đường tròn này thì:
$$SA=t+u,SB=t+v,AB=u+v.$$
Làm tương tự với tam giác SBC và SCA, do các tiếp điểm trên cạnh chung cho cùng độ dài tiếp tuyến từ mỗi đỉnh, suy ra các cạnh bên bằng nhau: $SA=SB=SC$, và các cạnh đáy bằng nhau: $AB=BC=CA$, tức tam giác ABC đều.

Vì SA = SB = SC nên hình chiếu H của S lên đáy là điểm cách đều A, B, C, tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều. Vậy S.ABC là hình chóp đều.

**b) Tính chiều cao h = SH.**

Gắn hệ tọa độ: H là gốc, mặt đáy là mặt phẳng (xy), A = (d, 0, 0) với $d=AH=\frac{a}{\sqrt{3}}$ (a là cạnh đáy), $B=\left(-\frac{d}{2},\frac{a}{2},0\right)$, $S=(0,0,h)$, $I=(0,0,h-R\sqrt{3})$ (vì $IS=R\sqrt{3}$).

• Khoảng cách từ I đến cạnh SA:
$$d(I,SA)=\frac{|\overrightarrow{SI}\times \overrightarrow{SA}|}{SA}=\frac{R\sqrt{3}d}{\sqrt{d^2+h^2}}=R\Rightarrow 3d^2=d^2+h^2\Rightarrow h=d\sqrt{2}.$$

• Vì $BC\perp (SAH)$, tiếp điểm trên BC là trung điểm M của BC, nên $IM=R$:
$$I{M}^2=\frac{d^2}{4}+(h-R\sqrt{3}{)}^2=R^2.$$
(Khoảng cách từ I đến AB cũng cho đúng phương trình này, kiểm tra bằng tích có hướng: $d(I,AB)=\sqrt{(h-R\sqrt{3}{)}^2+\frac{d^2}{4}}=R$.)

Thay $d=\frac{h}{\sqrt{2}}$:
$$(h-R\sqrt{3}{)}^2+\frac{h^2}{8}=R^2\Rightarrow 9h^2-16\sqrt{3}Rh+16R^2=0$$
$$\Rightarrow h=\frac{4\sqrt{3}R}{3}\text{hoặc}h=\frac{4\sqrt{3}R}{9}.$$

Với $h=\frac{4\sqrt{3}R}{9}$ thì $IS=R\sqrt{3}>h$, tức I nằm dưới đáy, và chân đường vuông góc từ I xuống SA nằm ngoài đoạn SA (độ dài tiếp điểm tính từ S là $\sqrt{2}R>SA=\frac{2\sqrt{2}R}{3}$) — mặt cầu không tiếp xúc với các **đoạn** cạnh, loại.

Vậy chiều cao của hình chóp là:
$$SH=\frac{4\sqrt{3}}{3}R=\frac{4R}{\sqrt{3}}.$$

Kiểm tra: khi đó $d=\frac{h}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}R}{3}$, $I{M}^2=\frac{d^2}{4}+{\left(\frac{\sqrt{3}R}{3}\right)}^2=\frac{2R^2}{3}+\frac{R^2}{3}=R^2$ ✓; tiếp điểm trên SA là trung điểm SA ✓.