Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tam giác $SAB$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết rằng $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$ và $\widehat{ASB}=60^{\circ }$. Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{3};0)$, $C(a;a\sqrt{3};0)$, mặt $(SAB)$ là mặt phẳng $y=0$ (do $(SAB)\perp (ABCD)$).

Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp: vì cầu đi qua $A,B,C,D$ (hình chữ nhật), $I$ nằm trên đường thẳng qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với $(ABCD)$, tức $I$ có hình chiếu bằng tâm $O\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Xét mặt cầu đi qua $A,B,S$: tâm nằm trên đường thẳng qua tâm $O_1$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$, vuông góc với $(SAB)$. Tam giác $SAB$ có $AB=a$, $\widehat{ASB}=60^{\circ }$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $R_1=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Tâm $O_1=\left(\frac{a}{2};0;z_1\right)$ với $z_1^2=R_1^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{12}$, tức $z_1=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Đường thẳng qua $O_1$ vuông góc với $(SAB)$ có phương trình $\left(\frac{a}{2};t;\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)$. Kết hợp điều kiện cách đều $A$ và $D$ (tức $t=\frac{a\sqrt{3}}{2}$), ta được $I=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)$.

Bán kính: $R^2=I{A}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{12}=a^2+\frac{a^2}{12}=\frac{13a^2}{12}$.

Kiểm tra với $S$: $S$ nằm trên đường tròn $(O_1,\frac{a}{\sqrt{3}})$ trong mặt $y=0$, nên $I{S}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{3}=\frac{13a^2}{12}=R^2$ ✓.

Diện tích khối cầu: $S=4\pi R^2=\frac{13\pi a^2}{3}$ (đvdt).