Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Trong mặt phẳng $(ADH)$, đường trung trực của $AD$ cắt đường thẳng $AH$ tại $I$ (vì tam giác đều nên $AH$ là đường trung trực của $BC$, do đó $I$ cách đều $A,B,C,D$). Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều $ABCD$, bán kính $R=IA$.

Tính $R$: Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $H$ là trọng tâm nên $HB=\frac{2}{3}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác $ADH$: $AD=a$, $DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, góc $ADH=30^{\circ }$ (vì $DH\perp BC$ và $AD$ tạo với $BC$ góc $60^{\circ }$). Gọi $I\in AH$ với $IA=ID=R$, đặt $AI=x$ thì $IH=AH-x=\frac{a\sqrt{3}}{2}-x$. Vì $I{D}^2=I{H}^2+H{D}^2$ (tam giác vuông tại $H$):
$$R^2=x^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-x\right)}^2+\frac{3a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}-a\sqrt{3}x+x^2+\frac{3a^2}{4}$$
$$\Rightarrow a\sqrt{3}x=\frac{3a^2}{2}\Rightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$$
Kiểm tra: $x=\frac{a\sqrt{6}}{4}\approx 0,612a<AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\approx 0,866a$, nên $I$ nằm trong đoạn $AH$, thỏa mãn.

Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp là $I$ nằm trên đoạn cao $AH$ sao cho $IA=\frac{a\sqrt{6}}{4}$, bán kính $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

b) Diện tích mặt cầu:
$$S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{6a^2}{16}=\frac{3\pi a^2}{2}.$$
Thể tích khối cầu:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6\sqrt{6}{a}^3}{64}=\frac{\sqrt{6}\pi a^3}{8}.$$