Tính các nguyên hàm sau:

a) $\int e^x.\cos xdx$ b) $\int e^x(1+\tan x+{\tan }^{2}x)dx$ c) $\int e^x.\sin 2xdx$

d) $\int \frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}dx$ e) $\int \frac{\ln (1+x)}{x^2}dx$ f) $\int \frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$

g) $\int \frac{x\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}dx$ h) $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx$ i) $\int {\left(\frac{\ln x}{x}\right)}^{2}dx$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: tính nguyên hàm bằng tích phân từng phần và biến đổi đại số.

a) Gọi $I=\int e^x\cos xdx$. Từng phần hai lần: $I=e^x\sin x-\int e^x\sin xdx=e^x\sin x+e^x\cos x-I$, nên $I=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của kết quả bằng $e^x\cos x$. ✓

b) $1+\tan x+{\tan }^{2}x=(1+{\tan }^{2}x)+\tan x={\sec }^{2}x+\tan x$. Do $(e^x\tan x{)}^{\prime }=e^x\tan x+e^x{\sec }^{2}x=e^x(1+\tan x+{\tan }^{2}x)$, nên nguyên hàm là $e^x\tan x+C$.

c) Tương tự câu a với $\sin 2x$: $I=\frac{e^x(\sin 2x-2\cos 2x)}{5}+C$. Kiểm tra đạo hàm: $e^x\sin 2x$. ✓

d) Từng phần với $u=\ln (\cos x),dv=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$: $I=\tan x\ln (\cos x)+\int {\tan }^{2}xdx=\tan x\ln (\cos x)+\tan x-x+C$ (với $\cos x>0$ trên miền xét).

e) Từng phần với $u=\ln (1+x),dv=\frac{dx}{x^2}$: $I=-\frac{\ln (1+x)}{x}+\int \frac{dx}{x(1+x)}=-\frac{\ln (1+x)}{x}+\ln |x|-\ln |1+x|+C$.

f) Từng phần với $u=x,dv=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$: $I=x\tan x-\int \tan xdx=x\tan x+\ln |\cos x|+C$.

g) Từng phần với $u=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ (có $u^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$), $dv=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}$, $v=\sqrt{x^2+1}$:
$$I=\sqrt{x^2+1}\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\int dx=\sqrt{x^2+1}\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-x+C.$$

h) $\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x(1+x^2)-x}{\sqrt{1+x^2}}=x\sqrt{1+x^2}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, nên
$$I=\frac{1}{3}(1+x^2{)}^{3/2}-\sqrt{1+x^2}+C.$$

i) $I=\int \frac{{\ln }^{2}x}{x^2}dx$. Từng phần: $u={\ln }^{2}x,dv=\frac{dx}{x^2}$:
$I=-\frac{{\ln }^{2}x}{x}+2\int \frac{\ln x}{x^2}dx=-\frac{{\ln }^{2}x}{x}+2\left(-\frac{\ln x}{x}+\int \frac{dx}{x^2}\right)=-\frac{{\ln }^{2}x+2\ln x+2}{x}+C$.

Tất cả kết quả đều kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm ra biểu thức dưới tích phân.